start     Articole     Despre mine    

Ce este numarul

In programare se lucreaza mult cu numere. De fapt, daca ar fi sa “dezbracam” programarea de “haine” am vedea ca in fond ea consta doar in manipularea unor numere.

De exemplu, ceea ce vezi pe ecran nu sunt in realitate niste texte sau desene colorate, ci sunt niste numere (ce codifica culori) scrise acolo unde trebuie in memoria video.

Chiar si programele insele sunt in fond doar niste insiruiri de numere. (Desi la suprafata pare ca programele sunt textele formate din instructiunile pe care le scriem, in spatele “cortinei” ele sunt codate sub forma unor siruri de numere.)

 

Se justifica, deci, intrebarea: “Ce este numarul?”.

Conform dexonline.ro, numarul este o “cantitate de elemente de acelasi fel care intra intr-o insiruire” sau o “cantitate care arata de cate ori o marime se cuprinde intr-o alta de aceeasi natura”.

 

Faptul ca avem (in total) zece degete la maini are o influenta majora asupra viziunii noastre despre numere.

Sa luam, de exemplu, numarul zece. Daca te intreb ce inseamna numarul zece, cel mai probabil imi vei raspunde “un 1 urmat de un 0”. Ceea ce n-ar fi gresit, ci doar incomplet. La modul grav. 🙂

De ce zic asta?

(1) Daca scriu “10”, asta nu inseamna neaparat ca ma refer la numarul zece. (Ba chiar m-as putea referi la o infinitate de alte numere.)

(2) Si chiar daca m-as referi la el, reprezentarea “10” (fara ghilimele, desigur) nu este nici pe departe singurul mod posibil de a reprezenta numarul zece.

 

Voi incepe cu a discuta aspectul de la (2).

Cum adica numarul zece mai poate fi reprezentat si altfel decat prin 10?

Vrei sa-ti dau un exemplu de alta reprezentare pentru acest numar? De exemplu, 9.(9) (adica noua cu o infinitate de zecimale, toate egale cu noua). Sau fractia 10/1. Sau numarul complex (10, 0) (sau, intr-o alta scriere, 10+i*0).

 

Si acum sa revenim la punctul (1) de mai sus: Cum e posibil ca notatia 10 sa mai reprezinte si alte numere decat numarul zece?

Pai ce inseamna 10? Un numar format din doua cifre: o cifra a unitatilor (la dreapta), si o cifra a zecilor (la stanga). L-as putea citi ca “o zece si zero unitati”. Sau, altfel spus, 1*10 + 0*1. (La fel cum numarul 3457 este egal cu 3*10^3 + 4*10^2 + 5*10^1 + 7*10^0, unde prin X^Y am reprezentat “X ridicat la puterea Y”.)

Dar daca nu-l alegeam pe zece ca baza de numeratie? (Alegerea asta oricum a fost arbitrara, fiind sustinuta de numaratul “pe degete” (care sunt in numar de zece).)

Daca aveam doar trei degete la o mana (ca testoasele ninja) — adica doar sase degete in total?

Cum l-as fi numarat atunci pe zece? 1, 2, 3, 4, 5, 6 — si deja am terminat degetele. Deci tin minte unu (un sase) si reincep sa numar: 7 (pe degetul 1), 8 (pe degetul 2), 9 (pe degetul 3) si 10 (pe degetul 4). Am numarat, deci “unu de sase si inca patru”.

Adica 10 = 1*6 + 4*1. Adica zece se scrie in baza sase ca 14. Pentru a nu face confuzie, se specifica intre paranteze ca indice baza de numeratie folosita (atunci cand e diferita de baza zece). Deci 10 = 14(6).

Dar cat ar insemna reprezentarea 10 in baza 6? Ce numar ar reprezenta, adica, 10(6)?

Simplu: “unu de sase la puterea unu si zero de sase la puterea zero”. Adica “unu de sase si zero de unu”. Adica 1*6 + 0*1. Adica 6.

Partea si mai interesanta e ca 10(x) = x, oricare ar fi x un numar intreg mai mare decat 1. Adica orice astfel de numar se scrie in propria baza de numeratie ca 10.

 

Stiu ca prin toata aceasta discutie nu am raspuns la intrebarea “ce este numarul?”, dar sper ca te-am lamurit ca un numar nu este acelasi lucru cu modalitatea de reprezentare a sa. Un numar e o cantitate abstracta, amorfa, careia noi ii dam infatisare pentru a-l putea folosi.

Un numar este, deci, similar cu ideea de “energie” din fizica. Adica este ceva care desi nu e concret, exista, si pentru a avea un impact in realitatea fizica trebuie sa capete o “forma” in care putem sa “lucram” cu el. (Oarecum similar cu ce se intampla atunci cand tii o piatra in mana si ii dai drumul sa cada. Desi energia potentiala a pietrei (m*g*h, pentru fizicieni) a existat tot timpul cat ai tinut-o in mana, ea nu a interactionat cu realitatea in forma ei pura, de energie, ci a interactionat cu realitatea prin miscarea care s-a produs atunci cand ai lasat piatra sa cada. Am putea spune ca deschiderea palmei, in acest caz, constituie o actiune (oarecum similara actiunii de a reprezenta un numar) prin care transformi energia (pietrei din exemplu) in miscare (adica in ceva concret).)

 

In concluzie, Ana are mere. Cate mere are Ana? (Asa ia nastere ideea concreta de numar.) 🙂

Numarul merelor e o notiune abstracta care este aceeasi indiferent daca merele ar fi inlocuite cu pere sau cu portocale. Forma de rostire si forma de notare in scris a acestui numar e doar o conventie care ne ajuta sa lucram cu el  — adica ne ajuta ca atat noi cat si cei care ne aud vorbind despre acel numar (sau il vad scris) sa ne referim la acelasi numar.

 

Dar cum de exista mai multe tipuri de numere?

Raspuns: Depinde de ce fel de mere are Ana.

Daca Ana are mere, atunci numerele sunt naturale.

Daca Ana are mere de dat, atunci numerele sunt intregi si negative.

Daca Ana are felii de mere, atunci numerele sunt rationale.

Daca Ana are piure de mere, atunci numerele sunt reale.

Daca Ana are mere-mutant, atunci numerele sunt complexe.

 

Cam atat despre numere. Daca mai ai neclaritati, intreab-o pe Ana! 🙂 (Ii poti lasa un comentariu mai jos.)

Alatura-te celor peste 2000 de oameni din armata noastra de creiere cu muschi si vei primi testul care iti va spune daca ai sau nu minte de programator:

(nu trimit spam; te tin la curent cu noutatile)

Cu drag,

Florin





9 comments
cos_take
cos_take

Florine, asa este, numerele sunt abstracte si asa vor ramane pe veci.

Si cred ca cele mai abstracte sunt +α si -α.

Nimeni nu cunoaste valoarea lor.

Numerele in afara de valoarea lor practica au si o aura de mister.

Nimeni nu poate să vadă, să atingă sau să simtă numerele.

De exemplu marul lui Ana are o culoare, un aspect, o mărime, 

o formă, un miros şi un gust specific.

Pentru a şti dacă un anumit obiect este măr, lămâie, minge sau altceva, 

poate fi verificată fiecare dintre aceste proprietăţi.

Dar ca sa facem diferenta intre 5 si 8 trebuie sa gandim abstract.

George
George

@cos_take Numerele sunt abstracte numai daca incerci sa le percepi in afara unui context. De exemplu, vin la tine si te intreb: "Salut, ai nevoie de cinci?"... Cum reactionezi? Cel mai probabil o sa ma intrebi :" Cinci ce???!!!Esti nebun?" (asta e reactia rationala)...Si asa o sa iti dai seama ca pentru a face diferenta intre 5 si 8 iti trebuie o alta constanta (merele)..sau o variabila (o inghetata de mere). Implicit nu mai trebuie sa gandim abstract pentru a face diferenta intre 5 si 8, ci doar practic. Apropos de +/- infinit, ai dreptate, aici e abstract!! Si nu pt. ca nimeni nu cunoaste valoarea lor, ci pentru ca nu vb. de un numar ci vorbim de un concept, iar valoarea  (desi impropriu spus)  e...perceputa diferit in diverse sisteme de referinta (ca dimensiunea punctului de exp)..

Florin Birleanu
Florin Birleanu moderator

@cos_take Nu inteleg la ce te referi prin "+alfa" si -"alfa". (Sau voiai sa folosesti semnul de "infinit" si a iesit alfa in loc? :-) )

Marian
Marian

Un singur lucru nu am înţeles, 10 în baza 6 este într-adevăr şase asta pentru că avem 6 la puterea 0 inmulţit cu 0 al lui 10 (adica 0)adunat cu 1 al lui zece înmulţit cu 6 la puterea 1 care este egal cu 6, dar de unde 14? De ce zece in baza 6 este egal cu 14, cand 10 in baza 6 este egal cu 6? Mi se pare ciudat că 6 in propria bază se scrie ca 10, este ceva ciudat că 6 este egal cu 10 în baza sa şi cred că pe 14 a reieşit din ălea 4 unităţi pe care le-aţi adunat la 6 când aţi numărat pe degete pentru a ajunge la 10, dar aici mi se pare ceva neclar, nu ştiu ce, aţi adunat 4 la şase şi fiindcă şase în propria bază este 10 rezultă că 10(6) este 14 adică 10 plus 4 unităţ, dar asta mi se pare trasă de păr ca 6 să fie un număr din altă bază, nu stiu daca mai mult fac ceata decat lumina dar ... pe scurt 10(6)=6 iar 10=14(6) pentru că 6 este egal cu zece în baza sa şi oricare alt număr intr-adevar cand faci transformarea prin puteri, dar aici e confuzia ca sase in baza proprie este tot 10 in baza 10, adica un numar reprezentat in baza sa oroginala cu care lucram toti, baza 10 si cu 4 unitati pe care le-am adunat pentru a ajunge la 10 (zece in baza zece, repet) vine 14 ... dar si alea patru unitati tot in baza zece sunt si le poti trece si pe ele tot ca zece ca orice numar in propria baza, chiar si o unitate adica un unu este egal tot cu 10 si astfel ajungic 10=30(6), ma rog, mai glumesc, dar intelegeti ce vreau sa spun :))

Florin Birleanu
Florin Birleanu moderator

@Marian De la un punct incolo n-am mai putut sa-ti urmaresc explicatiile :-)). Cred ca e din cauza ca tot treci de la o baza la alta fara atentionare prealabila :-).


Referitor la ce am zis eu: 


(1)    10(6) = 6(10) <-- zici ca aici ti-e clar, da?


(2)    10(10) = 14(6) <-- iar aici nu ti-e clar, asa e?


Pai o sa rescriu egalitatile de la (1) si (2) fara sa mai specific baza de numeratie, caci voi folosi doar baza zece pentru fiecare numar pe care il scriu acolo:


(1)    1 *6^1 + 0 *6^0 = 6 *10^0


(2)    1 *10^1 + 0 *10^0 = 1 *6^1 + 4 *6^0


Nu-i asa?... :-)



George
George

Chiar ma gandeam zilele trecute cum percepem noi numerele. Asta plecand de la faptul ca fiul meu face distinctia decat intre unul si ...mai multe (spunand generic "doua" indiferent de numar). Revenind, mi-am dat seama ca la nivel primar, de aici pleaca...Eu, de exemplu, intr-o discutie oarecare dau atentie numerelor numai in cazul subiectul chiar ma intereseaza. Altfel ma multumsc cu o sinteza rapida "a costat mult", "in poveste sunt cativa prieteni", "aha, deci erau mai multe...". Concret, putem supravietui si comunica fara probleme doar cu notiunile <unul, mai multe>, care sunt complet obligatorii. In situatia asta <mai multe> reprezinta un concept abstract, insa (si aici ajung sa te contrazic), numerele nu reprezinta nici pe departe o cantitate abstracta, ci una extrem de bine definita, descoperite din nevoia de a cuantifica cat mai exact si din ce in ce mai exact..lumea pe care o vedem..si pe cea pe care nu o vedem.

Adrian
Adrian

Dar daca Ana are suc de mere?

sorinicks
sorinicks

@Adrian in cazul asta, iti trebuie 1 pahar, deci tot la numere ajungem :P