O intrebare simpla, dar care pune probleme unui numar impresionant de oameni. Am descoperit asta din intamplare, cand intr-o seara mi-am intrebat un coleg de facultate (dintre cei buni la matematica!) daca stie ca 0.(9) = 1. Mi-a zis ca n-are cum — sunt numere diferite: 1 e numar natural, in vreme ce 0.(9) e numar rational cu o infinitate de zecimale dupa virgula.

Nici dupa ce i-am demonstrat matematic egalitatea 0.(9) = 1 el nu m-a crezut. A zis ca m-am bazat pe niste aproximari.

(El a fost doar primul. Au urmat altii si altii cu care a trebuit sa port din nou aceeasi discutie…)

Dar hai sa vedem mai intai personajele.

Te-am introdus in aceasta poveste fara sa te intreb mai intai daca esti familiarizat cu personajele principale. Cel mai probabil le-ai mai vazut in anii de scoala intr-o telenovela fara haz care rula pe table in timpul orelor de mate.

Sau poate stii ca 1 (simbolul acela grafic pe care-l vezi afisat la magazinul de la colt langa pungile cu seminte) este reprezentarea unui numar. Un numar intreg si pozitiv.

Si poate mai stii si ca 0.(9) este ruda apropiata cu faimosul pret de supermarket 0.99. Mai exact, 0.(9) (citit “zero virgula perioada noua”) este egal cu 0.999…99… (adica un zero cu o infinitate de zecimale egale cu noua).

Ce e cu 0.(9)? E numar intreg, sau e ciobit?

Aparent, intre 0.999… si 1 e o diferenta extrem de mica. Pai daca 0.(9) e un zero cu un infinit de 9 dupa virgula, inseamna ca daca adun la el un zero cu un infinit de zero dupa virgula si cu un 1 in coada obtin 1, nu-i asa?

(Exact! Inca o portie de carne de berberita, va rog!…)

Ce urmeaza dupa infinit?

Exista viata dincolo de infinit? Poate supravietui un 1 dupa un infinit de zerouri?

Putem lansa o dezbatere pe tema asta care cu siguranta ar lasa in plan secund orice campanie electorala.

Sau am putea sa legam infinitul asta in lanturile matematicii si sa incheiem rapid orice discutie. Caci doar poetii, pictorii, scriitorii (si rockerii) nu stiu ca infinitul e “fara numar” — lucru pe care manelistii il stiu din frageda pruncie.

Mai precis, acel 8 culcat la pamant nu e nici rezultatul unei sticle de vodca si nici al unui meci de Muai Tai, ci e un semn care denota o valoare mai mare decat a oricarui numar (oricat de mare). (Valoarea lui nu o are nimenea, adica.)

Prin urmare, la coada unui infinit de zerouri nu pot pune un 1 din simplul motiv ca un sir infinit de zerouri nu are coada.

Deci 0.999999999… = 1? Nu cred!!

1. Dar crezi ca 0.(9) = 9/9? Asa invata elevii de clasa a sasea sa transforme o fractie zecimala periodica simpla intr-o fractie cu numarator si numitor. (9/9 = 1. Stii, da?)

2. Sau crezi ca 0.999… = 3 * 0.333…? Si stii ca 0.333… = 1/3? (Imparte pe 1 la 3, daca nu crezi.) Deci 0.(9) = 3 * 0.(3) = 3 * 1/3 = 1.

3. Tot mai crezi ca 0.(9) si 1 sunt diferite? Inseamna ca intre ele mai exista un infinit de numere zecimale.

(De ce? Pai sa zicem ca avem numerele (oarecare) 0.7 si 0.8. Intre ele exista cel putin un numar. De exemplu, numarul situat fix la jumatatea distantei dintre ele. Adica media lor. (0.7 + 0.8) / 2 = 0.75. La fel, intre 0.75 si 0.8 exista 0.775. Iar intre 0.775 si 0.8 exista 0.7775. Si asa mai departe, la infinit…)

Zi-mi un singur numar situat intre 0.(9) si 1 si te cred ca ele sunt diferite.

Sa zicem ca ar exista un numar x situat fix la jumatatea distantei dintre 0.(9) si 1. Inseamna ca x = (0.(9) + 1) / 2. Adica x = 0.(9) / 2 + 0.5.

Dar cat face 0.999999999… impartit la 2?

Pai, daca te apuci sa faci calculul vezi ca face 0.499999999… . Adica 0.4 urmat de un infinit de zerouri. Adica 0.4(9).

Iar 0.4(9) + 0.5 cat face? 0.(9), da?

Deci media aritmetica a numerelor 0.(9) si 1 e 0.(9).

Si ce inseamna asta? Nu cumva inseamna ca cele doua numere sunt egale? (Daca a ar fi diferit de b, iar (a+b)/2 ar fi egal cu a, asta nu ar insemna ca a = b, de fapt?… Demonstratie: (a+b)/2 = a e echivalent cu a+b = 2a, ceea ce e echivalent cu a+b-2a = 0, adica b-a = 0, adica b=a.)

Sa-ti crezi ochii, sau mintea?…

Daca mi-ai urmarit argumentele de mai sus s-ar putea sa fi inceput sa inclini spre a-mi da dreptate.

Dar totusi… 0.(9) sau 0.999… si 1 arata atat de diferit… Oare ce minte bolnava o fi hotarat ca ele sa se refere de fapt la acelasi numar?

1… Un numar atat de simplu si frumos poate fi reprezentat ca o fractie urata cu un infinit de zecimale?…

E socant, stiu. Dar e timpul sa te desprinzi de fantasmele copilariei si sa pasesti cu incredere pe taramul maturitatii. (Copilaria aia care te face sa plangi de ciuda ca matematica nu te lasa sa treci de la un numar (real) la urmatorul cu pasi de 0.000…01; copilaria aia care te face sa vezi numerele ca pe mere pe care le poti aduna, scadea si taia in bucatele; copilaria aia care te face sa confunzi un numar cu reprezentarea lui grafica…)

Inchei cu un banc sec foarte simpatic: Doi copii numarau o bila.

Ar fi cel mai bun (scurt, clar, minimalist) banc sec daca ar fi si imposibil. Din pacate nu e, caci:

Primul copil: O bila…

Al doilea copil: Zero virgula perioada noua bile…

Spor la gandit!

Cu drag,

Florin