start     Articole     Despre mine    

Stiai ca 0.(9) e egal cu 1?

O intrebare simpla, dar care pune probleme unui numar impresionant de oameni. Am descoperit asta din intamplare, cand intr-o seara mi-am intrebat un coleg de facultate (dintre cei buni la matematica!) daca stie ca 0.(9) = 1. Mi-a zis ca n-are cum — sunt numere diferite: 1 e numar natural, in vreme ce 0.(9) e numar rational cu o infinitate de zecimale dupa virgula.

Nici dupa ce i-am demonstrat matematic egalitatea 0.(9) = 1 el nu m-a crezut. A zis ca m-am bazat pe niste aproximari.

(El a fost doar primul. Au urmat altii si altii cu care a trebuit sa port din nou aceeasi discutie…)

 

Dar hai sa vedem mai intai personajele.

Te-am introdus in aceasta poveste fara sa te intreb mai intai daca esti familiarizat cu personajele principale. Cel mai probabil le-ai mai vazut in anii de scoala intr-o telenovela fara haz care rula pe table in timpul orelor de mate.

Sau poate stii ca 1 (simbolul acela grafic pe care-l vezi afisat la magazinul de la colt langa pungile cu seminte) este reprezentarea unui numar. Un numar intreg si pozitiv.

Si poate mai stii si ca 0.(9) este ruda apropiata cu faimosul pret de supermarket 0.99. Mai exact, 0.(9) (citit “zero virgula perioada noua”) este egal cu 0.999…99… (adica un zero cu o infinitate de zecimale egale cu noua).

 

Ce e cu 0.(9)? E numar intreg, sau e ciobit?

Aparent, intre 0.999… si 1 e o diferenta extrem de mica. Pai daca 0.(9) e un zero cu un infinit de 9 dupa virgula, inseamna ca daca adun la el un zero cu un infinit de zero dupa virgula si cu un 1 in coada obtin 1, nu-i asa?

(Exact! Inca o portie de carne de berberita, va rog!…)

Ce urmeaza dupa infinit?

Exista viata dincolo de infinit? Poate supravietui un 1 dupa un infinit de zerouri?

Putem lansa o dezbatere pe tema asta care cu siguranta ar lasa in plan secund orice campanie electorala.

 

Sau am putea sa legam infinitul asta in lanturile matematicii si sa incheiem rapid orice discutie. Caci doar poetii, pictorii, scriitorii (si rockerii) nu stiu ca infinitul e “fara numar” — lucru pe care manelistii il stiu din frageda pruncie.

Mai precis, acel 8 culcat la pamant nu e nici rezultatul unei sticle de vodca si nici al unui meci de Muai Tai, ci e un semn care denota o valoare mai mare decat a oricarui numar (oricat de mare). (Valoarea lui nu o are nimenea, adica.)

Prin urmare, la coada unui infinit de zerouri nu pot pune un 1 din simplul motiv ca un sir infinit de zerouri nu are coada.

 

Deci 0.999999999… = 1? Nu cred!!

 

1. Dar crezi ca 0.(9) = 9/9? Asa invata elevii de clasa a sasea sa transforme o fractie zecimala periodica simpla intr-o fractie cu numarator si numitor. (9/9 = 1. Stii, da?)

 

2. Sau crezi ca 0.999… = 3 * 0.333…? Si stii ca 0.333… = 1/3? (Imparte pe 1 la 3, daca nu crezi.) Deci 0.(9) = 3 * 0.(3) = 3 * 1/3 = 1.

 

3. Tot mai crezi ca 0.(9) si 1 sunt diferite? Inseamna ca intre ele mai exista un infinit de numere zecimale.

(De ce? Pai sa zicem ca avem numerele (oarecare) 0.7 si 0.8. Intre ele exista cel putin un numar. De exemplu, numarul situat fix la jumatatea distantei dintre ele. Adica media lor. (0.7 + 0.8) / 2 = 0.75. La fel, intre 0.75 si 0.8 exista 0.775. Iar intre 0.775 si 0.8 exista 0.7775. Si asa mai departe, la infinit…)

Zi-mi un singur numar situat intre 0.(9) si 1 si te cred ca ele sunt diferite.

Sa zicem ca ar exista un numar x situat fix la jumatatea distantei dintre 0.(9) si 1. Inseamna ca x = (0.(9) + 1) / 2. Adica x = 0.(9) / 2 + 0.5.

Dar cat face 0.999999999… impartit la 2?

Pai, daca te apuci sa faci calculul vezi ca face 0.499999999… . Adica 0.4 urmat de un infinit de zerouri. Adica 0.4(9).

Iar 0.4(9) + 0.5 cat face? 0.(9), da?

Deci media aritmetica a numerelor 0.(9) si 1 e 0.(9).

Si ce inseamna asta? Nu cumva inseamna ca cele doua numere sunt egale? (Daca a ar fi diferit de b, iar (a+b)/2 ar fi egal cu a, asta nu ar insemna ca a = b, de fapt?… Demonstratie: (a+b)/2 = a e echivalent cu a+b = 2a, ceea ce e echivalent cu a+b-2a = 0, adica b-a = 0, adica b=a.)

 

Sa-ti crezi ochii, sau mintea?…

 

Daca mi-ai urmarit argumentele de mai sus s-ar putea sa fi inceput sa inclini spre a-mi da dreptate.

Dar totusi… 0.(9) sau 0.999… si 1 arata atat de diferit… Oare ce minte bolnava o fi hotarat ca ele sa se refere de fapt la acelasi numar?

1… Un numar atat de simplu si frumos poate fi reprezentat ca o fractie urata cu un infinit de zecimale?…

 

E socant, stiu. Dar e timpul sa te desprinzi de fantasmele copilariei si sa pasesti cu incredere pe taramul maturitatii. (Copilaria aia care te face sa plangi de ciuda ca matematica nu te lasa sa treci de la un numar (real) la urmatorul cu pasi de 0.000…01; copilaria aia care te face sa vezi numerele ca pe mere pe care le poti aduna, scadea si taia in bucatele; copilaria aia care te face sa confunzi un numar cu reprezentarea lui grafica…)

 

Inchei cu un banc sec foarte simpatic: Doi copii numarau o bila.

Ar fi cel mai bun (scurt, clar, minimalist) banc sec daca ar fi si imposibil. Din pacate nu e, caci:

 

Primul copil: O bila…

Al doilea copil: Zero virgula perioada noua bile…

 

Spor la gandit!

Cu drag,

Florin

 





11 comments
Andreea004
Andreea004

Florin Birleanu, eu sunt de acord cu demonstratiile tale, insa doar pentru ca pana acum nu a fost gasit ceva concret care sa evidentieze diferenta dintre cele doua numere, nu inseamna ca ele sunt egale by default. Eu de exemplu am observat ca la inmultire ele au comportamente diferite ( ceea ce nu e admis in cazul numerelor "egale" ). Daca inmultesti un numar 0.(9) cu un numar din ce in ce mai mare si in acelasi timp si pe 1 cu acelasi numar , vei constata ca diferenta dintre cele doua produse obtinute va creste cu cat numarul pe care il inmultesti cu fiecare creste la randul lui. De exemplu, luam un numar 0.999 si numarul 1. Initial diferenta dintre ele este 0.0001. Daca le inmultim pe amandoua cu 2, observam ca diferenta dintre produsele obtinute devine 0.0002, si tot asa... daca le inmultim pe amandoua cu 1000, diferenta dintre cele 2 produse a ajuns deja la 1.. si continua sa creasca..

Florin Birleanu
Florin Birleanu moderator

@Andreea004 Numarul 0.999 pe care l-ai pomenit in exemplul tau nu este nici pe departe egal cu numarul 0.(9) de care vorbim :-). Numarul 0.(9) nu are doar 3 zecimale (egale cu 9), ci o infinitate de zecimale.

Andreea004
Andreea004

Stiu asta. L-am oferit ca exemplu tocmai ca sa simplific lucrurile. Dar tot ce am zis este valabil si pentru 0.(9).

Florin Birleanu
Florin Birleanu moderator

@Andreea004 Te rog sa (re)citesti articolul :-). (Vezi ce am scris acolo referitor la afirmatia ta ca "Initial diferenta dintre ele este 0.0001."...)

Andreea004
Andreea004

@Florin Birleanu, daca nu citeam tot articolul nu ma riscam sa postez asta :). Dvs ati spus ca zecimala 1 nu ar incapea dupa un numar infinit de zero-uri, lucru cu , care sunt de-acord. Insa ati gresit la pozitionarea lui 1, el nu se afla pe pozitia de dupa infinit, ci chiar pe ultima... presupunem ca valoarea infinitului este n, iar numarul de zecimale egale cu 9 este n.

Facem adunarea:

0.999...99+

0.000...01

___________

1.000...00

Asa cum putem observa, 1 se afla pe pozitia n, nu pe o pozitie de dupa aceasta. Adica zecimala 1 INCAPE in numar :)

Florin Birleanu
Florin Birleanu moderator

@Andreea004 Ceea ce spui ar fi valabil daca infinitul ar fi un numar :-). Insa nu este, si nici nu se comporta ca un numar. De exemplu, infinit+1=infinit+2=infinit-3=infinit+1000=infinit. :-)

Andreea004
Andreea004

Nu neaparat. Infinitul e nedefinit, nimeni nu stie cat e. Poate sa aibe o limita sau poate sa nu aibe. Si daca are, nimeni nu a ajuns la ea.

CatalinaPopescu
CatalinaPopescu

Trei ardeleni ajung la Paris si se cazeaza la un motel. Camera costa 30 de euro, asa ca fiecare scoate din buzunar cate 10 euro,
 platesc si urca apoi la camera. Peste un sfert de ora receptionerul constata ca a uitat sa le aplice reducerea de sarbatori: camera de fapt costa 25 de euro.
 Asa ca o cheama pe femeia de serviciu sa le inapoieze 5 euro romanilor. Femeia de serviciu, urcand cu monedele la camera se gandeste: "Cum sa impart exact 5 monede la 3 oameni ?"
 Asa ca baga in buzunar 2 euro si ii inapoiaza fiecarui roman cate un euro. Sa facem totalul: fiecare roman a dat de fapt cate 9 euro, nu-i asa ? 9 * 3 = 27.
 Femeia de serviciu are in buzunar 2 euro, corect ? 27 + 2 = 29. Unde a disparut un euro ?!?

Florin Birleanu
Florin Birleanu moderator

@CatalinaPopescu :-) Nu a disparut niciun euro. Initial fiecare a platit 10 euro, dar cum li s-a inapoiat cate un euro, de fapt fiecare a platit 9 euro. Deci in total 27 de euro. Dar din banii astia receptionerul a oprit doar 25 de euro. Iar cei 27 - 25 = 2 euro i-a bagat in buzunar femeia de serviciu. :-)

CatalinaPopescu
CatalinaPopescu

Deci din cei 5 euro ce trebuia sa-i returneze, femeia de serviciu a fost cinstita ca si-a oprit 2 euro? :D

Trackbacks

  1. […] prilejul unor discutii pe teme de genul celei de aici am simtit foarte viu faptul ca matematica (desi asociata automat cu ideea de exactitate, de […]